保存量どうしの交換量が保存量になる証明

演算子$A$について$A$がハミルトニアン$H$と可換であれば、ハイゼンベルグ方程式

\begin{eqnarray*}
\frac{dA(t)}{dt}=-\frac{i}{\hbar} [A(t),H]
\end{eqnarray*}

より、物理量$A$は時間変化しない保存量となる。$A,B$が$H$と可換であるとき、ヤコビ恒等式

\begin{eqnarray*}
[A,[B,H]]+[B,[H,A]]+[H,[A,B]]=0
\end{eqnarray*}

より、

\begin{eqnarray*}
[H,[A,B]]=-[A,[B,H]]-[B,[H,A]]=0
\end{eqnarray*}

なので、保存量どうしの交換子は保存量になることが分かる。