院試の勉強（数学）

院試のためにしたこと。

数学

数学の勉強は講義ノートをおさらいして、学習した定理を全部証明し直すことからはじめました。数学の勉強は早めにしたので、４月の段階で数学の過去問はかなり高得点がとれてました。

線形代数

復習をはじめた当時は行列式の定義すら言えませんでした。とにかく講義ノートをはじめから読み直す毎日。行列式の具体的な求め方、対角化は自由にできるようにしておかなければなりません。2次形式、同時対角化、det[AB]=det[A]det[B]の証明なんかはよく見たなぁ。

グラム行列による線形独立性の判別、ジョルダン標準形は後回しにしていいと思います。

それから、なぜかあまり知られてませんけど、$n$次の正方行列A,Bについて

\begin{equation} {\rm Tr[A] } = \sum_{i=1}^n \lambda_i , 　  {\rm det[A] } = \prod_{i=1}^n \lambda_i \end{equation}

であることは検算に大いに有効なので覚えておきましょうね（証明できますか？）。

ちなみに計算練習として、『理工系の数学入門コース演習2 線形代数演習』だけは選ばないようにしてください。答えに間違いが多すぎてイライラしますよ。

複素関数論

『複素関数 (理工系の数学入門コース 5)』という緑の本を初めから終わりまでやりました。この１冊をやれば、十分です。とくに複素積分を応用して実積分を求めたりは頻出なので、基本的なパターンを抑えておく必要がありますので、この本の練習問題をめんどくさがらずにやるべきです。ローラン展開は後回しにしていいと思います。それよりも留数定理をきちんと応用できるようにしておくべきです。

微分方程式

一般論はほぼ出ないので、いくつかのパターンについて演習しました。リッカチ型とかロンスキアンとかは頭にいれておいた方がいいです。

微積分学

ほとんど勉強するようなことはないんだけれども、多変数関数のグラフをかけるようにしておくべきです。忘れたころにでてくるヘシアン行列の定義とかを思い出しておかなければなりません。あとはガウス積分等をできるようにして、いくつかの特殊関数について整理しておけば十分でしょう。個人的にn次元の球の体積を求める問題が好きだったので繰り返し練習してました。


黄色の『大学院入試問題』より、共立出版の『詳解物理応用数学演習』にいい例題が沢山あるし、解説も丁寧です。数学は学校によって傾向が全然違うので注意してください。